27、量子信息中的纠缠蒸馏与纯化

量子信息中的纠缠蒸馏与纯化

1. 量子态相关基础

在量子信息领域，存在多种量子态。例如，有态 $\rho = p|0, 1⟩⟨0, 1|+(1−p)|0, 0⟩⟨0, 0|$，对其按照特定规则去极化后可得到 Werner 形式的态 $\rho’$。若 $\rho’$ 具有正部分转置，那么 $p \in[0, 1]$，这意味着 $\rho’$ 是可分的，因为它是对可分态 $\rho$ 进行局部去极化的结果。

对于多量子比特态，有如下一族态：
$\rho_N = \sum_{\sigma=\pm} \lambda_{\sigma}^0|\Psi_{\sigma}^0 ⟩⟨\Psi_{\sigma}^0 | + \sum_{j=1}^{2^{(N - 1)} - 1} \lambda_j(|\Psi_{+}^j ⟩⟨\Psi_{+}^j | + |\Psi_{-}^j ⟩⟨\Psi_{-}^j |)$
其中，$|\Psi_{\pm}^j ⟩\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|j⟩\otimes|0⟩\pm |(2^{N - 1} - j - 1)⟩\otimes|1⟩)$，且 $j$ 采用二进制表示。利用自旋翻转和相移操作，可以将任意 $N$ 个量子比特的态去极化为此形式。该算子关于量子比特 $A_N$ 的部分转置为正的充要条件是 $\Delta\equiv\lambda_{+}^0 - \lambda_{-}^0 \leq 2\lambda_{2^{N - 1} - 1}$，其他量子比特情况类似。若 $\rho_{N}^{T_{A_k}} \geq 0$，则它可写成 $\rho_N = \sum_{i} |a_i⟩{A_k}⟨a_i| \otimes|\