56、希尔伯特空间中的弱收敛、紧算子与投影

希尔伯特空间中的弱收敛、紧算子与投影

1. 弱序列收敛

在许多希尔伯特空间的应用中，范数收敛的要求过高。例如，有界序列 ${f_n}$ 不一定有收敛子序列 ${f_{n_k}}$（这里的收敛指 $|f_{n_k} - f| \to 0$，$k \to \infty$）。但如果要求降低，相关结论就会成立且非常有用。

1.1 弱收敛的定义

若对于希尔伯特空间 $H$ 中的任意元素 $g$，都有 $(f_n, g) \to (f, g)$，则称序列 ${f_n}$ 弱收敛于 $f$。容易看出，范数收敛的序列一定弱收敛，但反之不成立。该定义也可表述为对于 $H$ 上的每个连续线性泛函 $\Gamma$，都有 $\Gamma(f_n) \to \Gamma(f)$，这是赋范线性空间中弱收敛的常用定义（当空间中没有内积时）。

1.2 弱序列紧性定理

有界序列 ${f_n}$ 在希尔伯特空间 $H$ 中有弱收敛子序列。
-证明思路（可分空间情况）：
1. 固定元素 $g_1 \in H$，由于 $|(f_n, g)| \leq M|g| < \infty$（$M = \sup_n |f_n|$），根据波尔查诺 - 魏尔斯特拉斯定理，可找到子序列使 $\lim_{k \to \infty}(f_{n_k}, g_1)$ 存在。
2. 固定 $g_1, g_2, \ldots, g_m \in H$，通过多次应用上述方法并取子序列的子序列，可找到子序列使 $\lim_{k \to \infty}(f_{n_k}, g_i)$ 对 $i = 1, 2, \ldots, m$