16、精确可预测性的代数结构与洛伦兹协变性

精确可预测性的代数结构与洛伦兹协变性

1. 精确可预测性的最终代数

在特定假设下，我们可以证明相关算子导数的存在性。具体而言，在假设 (5.1.1) 下，某些表达式的右侧会收敛到 0（在所有 $\psi c^{m - e^2}$ 的弗雷歇范数下）。这意味着 $t$ - 导数 $\dot{A}{\tau t}$ 在每个 $L(H^s, H^{s - m + e^2})$ 的算子范数中都存在，并且有 $\dot{A}{\tau t} = \dot{a}{\tau t}(x, D)$，$\ddot{A}{\tau t} = \ddot{a}_{\tau t}(x, D)$ 等。

对于算子 $U = u(t, x, D)$ 及其共轭 $U^$，它们的阶数为 0，且它们的 $j$ 阶 $t$ - 导数的阶数为 $-je$。因此，$A_{\Delta \tau t} = U^(t)A_{\tau t}U(t)$ 也具有类似性质，其 $j$ 阶 $t$ - 导数在每个 $L(H^s, H^{s - m + je^2})$ 中存在，即 $\dot{A}{\Delta \tau t} = \dot{a}{\Delta \tau t}(x, D)$，$\ddot{A}{\Delta \tau t} = \ddot{a}{\Delta \tau t}(x, D)$ 等。

为了证明渐近收敛和的可微性，我们只需验证形式上求导后的项仍然满足所需的估计 (1.2.2)。

接下来，我们回到之前未解决的问题，即证明定理 5.1.1 中的 (iii)。假设算子 $A$