4、狄拉克可观测量与伪微分算子：椭圆性、参数矩阵构造及空间性质

狄拉克可观测量与伪微分算子：椭圆性、参数矩阵构造及空间性质

1. 伪微分算子符号与参数矩阵构造基础

在研究伪微分算子（ψdo - s）时，符号起着关键作用。对于符号 (a)，我们可以通过对符号 (a_j) 的处理来构建它。具体做法是，使用一些截止函数 (\omega_j = \omega(x/t_j, \xi/t_j))，其中 (t_j \to \infty)，(\omega) 满足在 (|x| + |\xi| \leq \frac{1}{2}) 时 (\omega = 0)，在 (|x| + |\xi| \geq 1) 时 (\omega = 1)，且 (\omega \in C^{\infty})。定义 (a = \sum_{j = 0}^{\infty} a_j\omega_j)，由于对于 (|x| + |\xi| \leq t_j/2) 时 (\omega_j = 0) 且 (t_j \to \infty)，所以对于任意固定的 ((x, \xi)) 及其邻域，该和是有限的，进而 (a(x, \xi) \in C^{\infty})。

同时，我们可以得到 (a - \sum_{0}^{N} a_j = -\sum_{0}^{N} \chi_j a_j + \sum_{N + 1}^{\infty} \omega_j a_j)，其中 (\chi_j = 1 - \omega_j \in C^{\infty}{0})，右边第一项是 (O(-\infty))。对于第二项的求和项，有 (|\omega_j a_j| \leq c_j\langle\xi\rangle^{m{N + 1}^1}\langle x\rangle^{m_{N + 1}^2}\sup{\langle\