19、单输入单输出系统频率非参数优化与分层分散控制

单输入单输出系统频率非参数优化与分层分散控制

单输入单输出系统频率非参数优化

在单输入单输出（SISO）系统中，我们考虑对频率 $\omega_i$（$i = 1, \cdots, N + 1$）的精细网格上的 $K(j\omega_i)$ 进行优化，而非像之前那样对状态空间模型进行优化。

在 SISO 情况下，要求 $b_{P,K} \geq \beta$ 可以用逐点稳定裕度 $\rho(P(j\omega), K(j\omega))$ 来表示：
[
\rho(P(j\omega), K(j\omega)) := \frac{|1 - K(j\omega)P(j\omega)|}{\sqrt{(1 + |K(j\omega)|^2)}\sqrt{(1 + |P(j\omega)|^2)}}
]
即 $\rho(P(j\omega_i), K(j\omega_i)) \geq \beta$，对于所有 $i = 1, \cdots, N + 1$。

类似地，条件 $V_K \leq \alpha$ 可以近似为：
[
v_K(\omega_i) \leq \alpha, \quad \forall i = 1, \cdots, N + 1
]
其中
[
v_K(\omega) := \frac{\left|\omega\frac{dK}{d\omega}\right|}{(1 + |K(j\omega)|^2)}
]

通过 $sT/2 = \frac{z - 1}{z + 1}$ 将问题从虚轴转换到单位圆，对于 $z = e^{j\theta}$，有 $\