17、量子计算中的Shor算法与期权定价量子算法解析

量子计算中的Shor算法与期权定价量子算法解析

1. Shor算法：经典与量子的碰撞

在数论和密码学领域，分解大整数一直是一个极具挑战性的问题。传统的经典算法在处理这一问题时，随着数字规模的增大，计算复杂度会急剧上升。而Shor算法的出现，为这一难题带来了新的解决方案。

1.1 经典算法剖析

为了更好地理解Shor算法，我们先来看经典算法是如何工作的。以分解数字15为例，经典算法的步骤如下：
1.选择互质数：选择一个与15没有公因数的数字，例如2。
2.生成序列并确定周期：考虑序列 ${2^i \bmod 15}$，其中 $i = 0, 1, 2, \cdots$。具体计算可得：
- $2^0 \bmod 15 = 1$
- $2^1 \bmod 15 = 2$
- $2^2 \bmod 15 = 4$
- $2^3 \bmod 15 = 8$
- $2^4 \bmod 15 = 1$
- $2^5 \bmod 15 = 2$
- $\cdots$
我们发现序列呈现出周期性，周期长度 $r = 4$。
3.计算最大公因数：计算 $\gcd(2^{r/2} \pm 1, 15) = \gcd(2^2 \pm 1, 15)$，即 $\gcd(3, 15) = 3$ 和 $\gcd(5, 15) = 5$，从而得到15的质因数3和5。

然而，经典算法的难点在于确定周期长度 $r$。对于较小的数字，如15，这一过程相对简单；但对于大