9、伪微分算子解耦相关研究

伪微分算子解耦相关研究

1. 预备知识

1.1 Eλ 性质

Eλ 在特定区间内是递增且分段常数的函数，仅在特征值处通过投影到 S 的有限维子空间产生跳跃。这意味着 M 和 N 的特征值无需被排除，为后续的分析提供了基础。

1.2 命题 3.4.3

对于属于 O(−∞) 的算子 A，如果 (1 + A)⁻¹ 存在，那么它具有 1 + B 的形式，其中 B 也属于 O(−∞)。对于自伴的 A 属于 O(−∞)，所有对应非零特征值的特征函数都属于 S = S(R³)。此外，如果 1 + A ≥ 0，那么 √(1 + A) = 1 + B，其中 B 属于 O(−∞)。
-证明思路：
- 首先，1 + A 是一个 0 阶的 md - 椭圆伪微分算子，因此它有一个 K - 预解式，且在 O(−∞) 中的附加项唯一。
- 自伴的 A 属于 O(−∞) 是一个紧算子，所以它具有离散谱（除了 0 点）。如果 λ ≠ 0 是一个特征值，那么 A - λ 在 L² = H⁰ 中是 Fredholm 算子，在每个多项式加权 Sobolev 空间 Hˢ = H(s₁, s₂) 中也是 Fredholm 算子，并且其零空间与 s = (s₁, s₂) 无关，因此必须是 ∩Hˢ = S 的子空间。
- 对于 1 + A ≥ 0 的情况，只需证明 (1 + A)⁻¹/² = 1 + C，其中 C 属于 O(−∞)。若 (1 + A)⁻¹ 不存在，设 P 是到 ker(1 + A) ⊂ S 的正交投影，可得 P 属于 O(−∞)，且 (1 + A + P)⁻¹ 存在。通过一个著名的逆平方根公式：