48、不确定性量化中的多项式混沌展开与实验设计

不确定性量化中的多项式混沌展开与实验设计

1. 多项式混沌展开系数计算

一般来说，多项式混沌展开（PCE）系数 $y_{\alpha}$ 的计算有两种方法：侵入式方法（例如伽辽金方法）和非侵入式方法（例如投影法、最小二乘回归法）。这里主要关注最小二乘法，在统计学中也称为回归法。“非侵入式”意味着混沌系数是在一组输入实现 $x = {x_1, x_2, \cdots, x_M}$ 上进行评估的，这组输入实现被称为实验设计（ED）。

将 $Y = {M(x_1), M(x_2), \cdots, M(x_M)}$ 视为计算模型在每个样本点的输出集合，那么系数集合 $y_{\alpha}$ 是通过最小化“真实”计算模型多项式逼近的最小二乘残差来计算的：
[
\hat{y} = \arg\min_{y_{\alpha}} \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{M} \left( M(x_i) - \sum_{\alpha = 0}^{P - 1} y_{\alpha} \varphi_{\alpha}(x) \right)^2
]

2. 多项式混沌展开模型精度评估

一旦构建了 PCE 元模型，就需要评估其与“真实”计算模型相比的准确性。有几种统计误差估计器，其中一个有效的衡量指标是均方误差（MSE）：
[
MSE = E\left[ M(X) - M_{PCE}(X) \right]^2
]
其中验证集 $X = {x_1, x_2, \cdots, x_{val}}$ 由不属于用于构建 PCE 元模型 $M_{PCE}$ 的 ED 的输入变量样本组成。MSE 值越低，元模型越准确