28、量子物理中的莫尔斯势与氢原子研究

量子物理中的莫尔斯势与氢原子研究

1. 自旋 - 轨道耦合与简并能级

在量子物理中，简并各向同性振子的能级情况较为复杂。以简并各向同性振子为例，其能级在未考虑自旋 - 轨道耦合时存在简并现象。例如，图中展示了直至 (n = 3) 的简并各向同性振子能级。这些简并能级会因自旋 - 轨道耦合而发生分裂，这种分裂机制为原子核的壳层结构提供了合理的解释，分裂后的壳层由粗虚线分隔开。

值得注意的是，自旋 - 轨道耦合在不同系统中的表现有所不同。在某些系统中，自旋 - 轨道耦合表现为“强”耦合，其导致的能级移动与未移动能级之间的间距处于同一数量级。而在原子系统中，自旋 - 轨道相互作用通常只是总能量间距的一小部分。

2. 三维莫尔斯势

2.1 莫尔斯势与有效势

莫尔斯势是一个广泛用于描述双原子分子的势能函数。在之前的研究中，假设分子不发生转动，从而可以将问题简化为一维情况来求解定态薛定谔方程（TISE）。然而，当考虑分子的转动时，就需要在势能中加入离心项，以形成有效势：
[U_{eff}(r) = D_e\left(e^{-2\alpha(r - r_e)} - 2e^{-\alpha(r - r_e)}\right) + \frac{j(j + 1)\hbar^2}{2\mu r^2}]
其中，(r) 是核间距，(D_e) 和 (\alpha) 是每个双原子分子特有的常数，(r_e) 是分子不转动时的平衡核间距，(\mu) 是两个原子核的约化质量，量子数 (\ell) 被 (j) 所取代，(j) 是与分子转动相关的量子数。

2.2 刚性转子近似及其局限性

当 (j = 0) 时，