33、环论中的分式域与多项式唯一分解

环论中的分式域与多项式唯一分解

在数学的环论领域，分式域的构造和多项式的唯一分解是两个非常重要的概念。下面我们将详细探讨这些内容。

1. R - 代数相关性质

设 (E) 是一个 (R) - 代数，可将其视为 (R) - 模。这里有几个关于 (R) - 代数的重要性质：
-性质一：对于任意 (a \in R) 以及 (\alpha, \beta \in E)，有 (a \cdot (\alpha\beta) = (a \cdot \alpha)\beta)。
-性质二：(E) 的子环 (S) 是子代数的充要条件是它也是子模。
-性质三：若 (E’) 是另一个 (R) - 代数，那么环同态 (\rho : E \to E’) 是 (R) - 代数同态的充要条件是它是 (R) - 线性映射。

另外，还可以通过定义映射 (\tau : R \to E)，将 (a \in R) 映射到 (a \cdot 1_E \in E)，来对 (R) - 代数进行另一种刻画。可以证明 (\tau) 是一个环同态，使得 (E) 成为 (R) - 代数，并且对于所有 (a \in R) 和 (\alpha \in E)，有 (\tau(a)\alpha = a\alpha)。

2. 整环的分式域构造

设 (D) 是任意一个整环。就像我们通过整数构造有理数域一样，我们可以构造一个由 (D) 中的元素作为分子和分母的分式组成的域。具体步骤如下：
1.定义集合 (S)