35、瞬子与调和球面的扭量解释及相关理论

瞬子与调和球面的扭量解释及相关理论

1. 瞬子的扭量解释

从欧几里得空间 $\mathbb{R}^4$ 上扭量丛的构造开始。首先将 $\mathbb{R}^4$ 紧致化为欧几里得球面 $S^4 = \mathbb{R}^4 \cup{\infty}$，并将 $S^4$ 与四元数射影直线 $\mathbb{H}P^1$ 等同。$\mathbb{H}P^1$ 上的点由四元数对 $[z_1 + z_2j, z_1’ + z_2’j]$ 给出，且不同时为零，这些点在右乘非零四元数的意义下定义。

扭量丛的形式为 $\pi: \mathbb{P}^3 \to \mathbb{H}P^1$，其中 $\mathbb{P}^3$ 是三维复射影空间，可看作霍普夫丛 $S^7 \to S^4$ 的复类比。它由公式 $[z_1, z_2, z_3, z_4] \to [z_1 + z_2j, z_3 + z_4j]$ 定义，这里复数 4 - 元组 $[z_1, z_2, z_3, z_4]$ 在乘以非零复数的意义下定义，四元数对 $[z_1 + z_2j, z_3 + z_4j]$ 在乘以非零四元数的意义下定义，$\pi$ 的纤维与复射影直线 $\mathbb{P}^1$ 重合。

扭量丛 $\pi: \mathbb{P}^3 \to S^4$ 限制到欧几里得空间 $\mathbb{R}^4 = S^4 \setminus \infty$ 得到扭量丛 $\pi: \mathbb{P}^3 \setminus \mathbb{P}^1_{\infty} \to \mathbb{R}^4$，其中去掉的射影直线 $\mathbb{P}^1_{\infty}$ 是 $\pi: \mathbb{P}^3 \to S