19、量子信息科学中的光子：从熵到纠缠态的深入探索

量子信息科学中的光子：从熵到纠缠态的深入探索

1. 冯·诺依曼熵

在信息理论中，许多热力学概念都有了新的表述方式。比如，熵用于衡量系统的无序程度，而香农熵则用于衡量经典概率分布的不确定性。香农熵的概念可以应用于量子力学，只不过在量子力学中，经典概率分布被密度算符所取代。冯·诺依曼定义了量子态的熵，对于由密度矩阵 $\rho$ 表示的量子态，其熵的公式为：
$S(\rho) \equiv -k_Btr(\rho \ln \rho)$

对于量子比特，该公式可修改为：
$S(\rho) \equiv -tr(\rho \log \rho)$

这里的对数是以 2 为底的。如果 $\lambda_x$ 是 $\rho$ 的特征值，那么冯·诺依曼熵可以表示为：
$S(\rho) = - \sum_{x} \lambda_x \log \lambda_x$

这个公式与香农熵 $H$ 的定义非常相似。

冯·诺依曼熵的一个简单应用是量化两个子系统 $A$ 和 $B$ 的纯态纠缠程度。$A$ 和 $B$ 的一般状态（其中一个维度为 $N$，另一个维度为 $M \leq N$）可以写成（所谓的施密特分解）：
$|\Psi_{AB}\rangle = \sum_{i=1}^{N} c_i|u_i\rangle|v_i\rangle$

其中 ${|u_i\rangle}$ 是 $A$ 的基，${|v_i\rangle}$ 是 $B$ 的基。系统 $B$ 的冯·诺依曼熵，即对系统 $A$ 进行测量之前，关于系统 $B$ 状态的不确定度为 $S(\rho_B)$，其中 $\rho_B$ 是系统 $B$ 的约化密度矩阵：