10、约化方法的应用与Bargmann - Wigner方程的拉格朗日锚

约化方法的应用与Bargmann - Wigner方程的拉格朗日锚

1. 约化方法构建自旋Sutherland型系统

1.1 广义Cartan分解

在研究感兴趣的约化问题之前，我们需要确定一些符号并回顾一个重要的群论结果。设 $Y$ 是一个非紧连通单实李群，其李代数为 $\mathcal{Y}$。为 $\mathcal{Y}$ 配备由Killing型的正倍数给出的标量积 $\langle,\rangle$。假设 $\Theta$ 是 $Y$ 的一个Cartan对合（其不动点集是一个极大紧子群），$\Gamma$ 是与 $\Theta$ 可交换的任意对合。$\mathcal{Y}$ 对应的对合分别记为 $\theta$ 和 $\gamma$，这导致了正交分解：
$\mathcal{Y}=\mathcal{Y}{+}^{+}+\mathcal{Y}{-}^{+}+\mathcal{Y}{+}^{-}+\mathcal{Y}{-}^{-}$
其中下标 $\pm$ 表示 $\theta$ 的特征值 $\pm1$，上标表示 $\gamma$ 的特征值。我们还可以使用相关的投影算子 $\pi_{\pm}^{\pm}:\mathcal{Y}\to\mathcal{Y}{\pm}^{\pm}$，以及 $\pi{+}=\pi_{+}^{+}+\pi_{-}^{+}$ 和 $\pi_{+}=\pi_{+}^{+}+\pi_{+}^{-}$。

我们选择一个极大阿贝尔子空间 $\mathcal{A}\subset\mathcal{Y}{-}^{-}$，并定义 $\mathcal{C}:=\t