6、为什么可观测量应该是伪微分算子？

为什么可观测量应该是伪微分算子？

1. 引言

在研究中，我们探讨为什么狄拉克可观测量应该是自伴伪微分算子。考虑平移、旋转和伸缩对伪微分算子（ψdo - s）的作用，确切地说是对一般有界算子 $A : H^s \to H^{s - m}$ 的作用。我们发现，当且仅当 $A$ 是阶为 $m$ 的伪微分算子（并非严格属于 $Op\psi_c^m$，而是稍大的一类）时，这些作用在配置空间和动量空间中都是平滑的。

“平滑”这一性质是一种数学理想化。可观测量应该对坐标系定位的小误差“不敏感”，无论是在配置空间还是动量空间，对于小的旋转误差或伸缩误差也应如此。这里用“在平移、旋转和伸缩作用下平滑”来替代“对小误差不敏感”。

考虑以下线性算子：
- $T_z : u(x) \to u(x - z) = (T_z u)(x)$
- $S_o : u(x) \to u(ox) = (S_o u)(x)$
- $R_{\tau} : u(x) \to u(\tau x) = (R_{\tau} u)(x)$

其中 $z \in R^3$，$0 < \tau \in R$，$o$ 是 $SO_3(R)$ 中的一个 $3\times3$ 旋转矩阵。需要注意的是，$T_z = e^{-izD}$ 形式上是一个伪微分算子，但除了 $z = 0$ 外，它不是严格的经典伪微分算子。类似地，$S_o$ 和 $R_{\tau}$ 除了 $\tau = 1$ 或 $o = 1$ 外，也不属于 $Op\psi_c$。

在最简单的情况（$H^s = H$，即 $s = 0$，且有界算子 $A : H \to H$）下，我们考虑以下 4 个算子族：