13、伪微分算子 - 海森堡变换的精确结果及相关代数关系

伪微分算子 - 海森堡变换的精确结果及相关代数关系

1. 引言

在量子物理和数学物理领域，精确预测可观测量是一个重要的研究方向。我们将探讨伪微分算子 - 海森堡变换的精确结果，以及不同时刻对应的精确可预测可观测量代数之间的关系。

2. 伪微分算子类 (P_m) 和代数 (P) 的定义

对于每个 (m \in R^2)，引入类 (P_m \subset Op\psi_c^m)，它包含所有满足特定性质的（严格经典）伪微分算子 (A = a(x, D) \in Op\psi_c^m)。具体性质如下：
- 对于狄拉克方程的演化算子 (U(\tau, t))（具有时间相关的势），(A_t = U(0, t)AU(t, 0)) 仍然属于 (Op\psi_c^m)，对于每个 (t \in R)。
- 有 (A_t = a_t(x, D))，其中符号 (a_t \in C^{\infty}(R, \psi_c^m))，并且满足 (\partial^j_t a_t(x, \xi) \in \psi_c^{m - je^2})，(j = 0, 1, 2, \cdots)。

代数 (P) 定义为所有 (P_m) 的并集，即 (P = \bigcup_{m \in R^2} P_m)。

同时，对哈密顿量 (H) 的势有一般假设：对于 (a(t, x) = V(t, x))，(A_j(t, x)) 以及它们的所有时间导数 (\partial^j_t a(t, x))，(j = 0, 1, 2, \cdots)，要求满足特定条件 (\partial^j_t \partial^{\theta}_x a(t, x) = O((1 + |x|)^{-