20、从物理到信息论再回归：理论框架的探索
从物理到信息论再回归：理论框架的探索
1. 代数框架
在对量子力学进行信息论约束表征的研究中，Clifton、Bub 和 Halvorson（简称 CBH）采用了将物理理论与 C∗ - 代数相关联的框架。在这个框架里，C∗ - 代数的自伴元素代表理论的有界可观测量。例如，希尔伯特空间上的所有有界算子集合是一个 C∗ - 代数，经典相空间上的所有有界连续复值函数集合以及所有有界可测复值函数集合也都是 C∗ - 代数。经典力学同样可以用 C∗ - 代数表示，不过与量子情况的区别在于，经典情况下的代数是阿贝尔的。
1.1 C∗ - 代数中的状态
C∗ - 代数 A 上的状态是一个正线性泛函 ρ: A → C，并且满足归一化条件 ω(I) = 1。对于自伴的 A，ω(A) 被解释为在状态 ω 下对应于 A 的可观测量的期望值。状态集合是一个凸集，对于任意状态 ρ、σ 以及任意实数 λ ∈ (0, 1)，由 ω(A) = λ ρ(A) + (1 - λ) σ(A) 定义的泛函也是一个状态，即 ρ 和 σ 的混合态。不是任何两个不同状态混合的状态被称为纯态。一般的状态演化由完全正的保范线性映射表示，也称为非选择性操作。
1.2 无弥散状态与阿贝尔代数
一个状态是无弥散的，当且仅当对于所有自伴的 A 都有 ρ(A²) = ρ(A)²。任何无弥散状态都是纯态。可以证明，一个 C∗ - 代数是阿贝尔的，当且仅当它的所有纯态都是无弥散的。并且，涉及阿贝尔 C∗ - 代数的理论可以有一个本质上经典的表示，其中状态是其纯态集合上的概率分布。因此，在 C∗ - 代数框架内，经典理论就是那些代数为阿贝尔的理论。