25、特征流与粒子流及谐振子相关研究

特征流与粒子流及谐振子相关研究

1. 特征流与粒子流基础概念

在相关理论中，存在一种被称为“双曲理论”的内容。对于某些特定的微分算子，其在符号空间上的作用与双曲方程（8.2.4）中奇点的传播密切相关。具体来说，若算子(A)在(m_0 \in M)处“非椭圆”，即(\sigma_A)在该点消失，那么由特定哈密顿流定义的规则将决定这种“奇点”随时间的传播方式。

这里涉及到符号空间(M)的分解，它可分解为不相交的主符号空间(M_p)和次符号空间(M_s)的并集，即(M = M_p \cup M_s)，其中(M_p = {|\xi| = \infty})，(M_s = {|\xi| < \infty})。(N)阶微分算子(L)的Fredholm性质与算子(A = L(1 - \partial_x^2)^{-N/2})（若系数合适则可能属于代数(A)）相关。一个（一致）椭圆算子(L)在(M_p)上生成的符号(A)远离(0)，而该椭圆算子(L)是否为Fredholm算子则取决于(A)的“次符号”，即(A)在(M_s)上的符号。

对于形如（8.2.1）的微分算子(H)，不仅较大代数(A_b)的符号空间在共轭变换(A \to A_t)下保持不变且受到作用，而且(A)的主符号空间(M_p \subset M)也保持不变并受到作用。这种作用与（8.2.1）中函数(b(x))的选择无关，最好通过令(b(x) \equiv 0)，即仅考虑“主符号”来进行讨论。

在(M_p)上(e^{-iHt})的流通常被称为双曲方程（8.2.4）的特征流。与之相对，方程（8.3.7）（对于有限的(x)，(\xi)）的流被称为方程（8.2.4）的粒子流。下面我们将通过狄拉克方程和简谐振子的薛定谔