sm2加密算法

Sm2背景

SM2算法全称是SM2椭圆曲线公钥密码算法(SM是商用密码的拼音缩写）,是一种基于“椭圆曲线”的密码ECC(Elliptic CurveCryptography)。2016年,SM2成为中国国家密码标准。在商用密码体系中,SM2主要用于替换RSA加密算法。

SM2算法是中国国家密码局推出的国产化算法,和RSA算法一样,同属于非对称算法体系,而且是椭圆曲线加密(ECC)算法的一种。但与RSA算法不同的是:RSA算法是基于大整数分解数学难题,SM2算法是基于椭圆曲线上点群离散对数难题。

相较于RSA算法,SM2算法的优点如下:

安全性高:192位的SM2密码强度已经比RSA的20.48位密码强度要高,

存储空间小。SM2算法的密码一般使用192~256位RSA算法的密码一般需要2048~4096位。

签名速度快:SM2算法在私钥运算上的速度远大于RSA算法。

国产算法:由国家密码管理部门制订规范,不存在不可公开的密码。目前普遍认为在国内被广泛使用的RSA的1024位算法不再安全,国家密码管理局下发了通知:自2011年7月1日起,投入运行并使用公钥密码的信息系统应使用SM2椭圆曲线公钥密码算法。

二、椭圆曲线运算

国密SM2的算法基础是椭圆曲线,公式:

椭圆曲线加法

椭圆曲线加法:过曲线上的两点A、B画一条直线,找到直线与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A+B,即为加法。如下图所示:A+B=C

二倍运算:上述方法无法解释A +A,即两点重合的情况。因此在这种情况下,将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A +A,即2A,即为二倍运算。

综上,定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G,可以求出2G、3G(即G +2G)、4...。.即:当给定G点时，已知x,求xG点并不困难。反之，已知xG点,求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

三、有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线,要求x,y取值均为实数,即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法,并非使用实数域,而是使用有限域。按数论定义,有限域GF(p)指给定某个质数p,由0、1、..p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y2= x3+x＋1,其在有限域GF(23)上时,写作:y2=X3+ X+1(mod 23)

此时,椭圆曲线不再是一条光滑曲线,而是一些不连续的点,如下图所示。以点(1,7)为例,72=13＋1+1=3 (mod 23)。如此还有如下点:

相关公式如下:有限域GF(p)上的椭圆曲线y2 = x3+ ax +b,若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，则R(Xr,Yr)= P+Q由如下规则确定:

Xr =(A2 -Xp - Xq) mod p

Yr=(A(Xp- Xr) - Yp) mod p

其中入=(Yq- Yp)/(Xq - Xp) mod p(若P≠Q),

入= (3xp2 + a)/2Yp mod p(若P=Q

因此,有限域GF(23)上的椭圆曲线y2=x3+X+ 1 (mod 23),假设以(0,1)为G点,计算2G、3G、4G...xG等等,方法如下:计算2G:

入=(3x02+ 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 =12Xr = (122 - 0 -0) mod 23=6

Y=(12(0 - 6) - 1) mod 23=19即2G为点（6,19)

四sm2算法

密钥对生成