37、量子系统中的时间相关微扰理论与跃迁概率

量子系统中的时间相关微扰理论与跃迁概率

1. 二态系统的跃迁概率

在量子系统中，二态系统是一个基础且重要的模型。当二态系统受到谐波微扰时，系统会在两个状态之间以拉比频率 $\omega_R$ 振荡。根据概率守恒，有如下关系：
$P_{2\rightarrow1} = 1 - |c_2 (t)|^2 = \cos^2 (\omega_Rt) + (\frac{\delta}{2\omega_R})^2 \sin^2 (\omega_Rt)$

这个方程表明系统在两个状态之间振荡。对于共振情况，即 $\delta = 0$ 时，概率会在 0 和 1 之间翻转；而在非共振情况下，非零的失谐会减弱 $P_{1\rightarrow2}$ 的振幅，使得上能级永远不会被完全占据，相应地，下能级也不会被耗尽。

当考虑在 $t = 0$ 时刻开启的恒定微扰时，这实际上是一个时间相关的问题，因为微扰是一个阶跃函数。通过对谐波微扰的微分方程进行处理，令 $\omega = 0$，可以得到：
$i\hbar\dot{c}1 (t) = \hat{W}{11}c_1 (t) + \hat{W}{12}e^{-i\omega_0t}c_2 (t)$
$i\hbar\dot{c}_2 (t) = \hat{W}{12}^{\dagger}e^{i\omega_0t}c_1 (t) + \hat{W}_{22}c_2 (t)$

假设解的形式为 $c_1 (t) = Ae^{-i\omega t}$ 和 $c_2 (t) = Be^{-i(\omega - \omega_0)t}$，代入上述方程并求解久期方程，可