5、拟微分算子与常微分方程求解方法

拟微分算子与常微分方程求解方法

1. 格林逆与算子映射性质

首先，存在关系 $\Gamma’ = 1 + F’$，其中 $F’$ 具有有限秩，并且可以证明 $\Gamma$ 的阶为 $-\infty$，$F$ 具有一般形式 (1.4.11)。由此可得 $AB(1 + \Gamma) = 1 + F’$，这表明上述定义的格林逆为 $B_g = B(1 + \Gamma’)$，因为通过类似的论证也可以证明 $B_gA = 1 + F$。最后，很容易确认关于 $A$ 作为从 $H^s$ 到 $H^{s - m}$ 的映射的相关陈述。

2. 用参数化方法求解常微分方程

2.1 常微分方程初值问题

考虑如下形式的常微分方程初值问题：
$\dot{u} + ik(t, x, D)u = 0$，$u(0, x) = u_0(x)$
其中，$\psi$ 微分算子 $k(t, x, D)$ 的符号 $k(t, x, \xi)$ 属于 $\psi_{c0}$。根据定理 1.4.1 及其推论，算子 $k(t, x, D)$ 在每个 $H^s$ 中是有界的，由皮卡定理可知该初值问题的解存在。在对符号 $k$ 关于 $t$ 有合理的连续性（和光滑性）假设下，容易得出演化算子 $U_k(t)$ 的阶为 0，即它属于每个 $L(H^s)$。

这里产生一个问题：演化算子是否也是 $Op\psi_{c0}$ 中的 $\psi$ 微分算子？对于在某个紧区间 $[t_1, t_2]$ 内所有 $t$ 都满足 $k(t, x, \xi) \in \psi_{c0}$ 且其所有 $t$ 导数也属于 $\psi_{c0}$ 的 4×4 矩阵值符号 $k(t