8、幂零李群上伪微分算子的有界性研究

幂零李群上伪微分算子的有界性研究

1. 引言

在偏微分方程和表示理论的诸多问题中，幂零李群上的卷积算子和全局魏尔微积分受到了广泛关注。全局魏尔微积分虽被视为经典魏尔微积分在 $\mathbb{R}^n$ 上的扩展，但它并非单射，且与相应余伴随轨道的联系并不明晰。N.V. Pedersen 构建了一种与幂零李群的不可约表示相关的魏尔 - 佩德森微积分，解决了这些问题。该微积分在定义于相应轨道的符号空间和表示空间中的算子之间建立了双射，并且直接扩展了经典魏尔微积分。

本文旨在探讨魏尔 - 佩德森微积分在平坦轨道情况下的有界性结果，并将其应用于一些具有非平坦通用轨道的三步幂零李群。这些结果是经典卡尔德隆 - 瓦扬库尔定理和比尔斯对伪微分算子刻画的推广。

2. 幂零李群表示的魏尔微积分

2.1 幂零李群的预备知识

本文所讨论的幂零李群均假定为连通且单连通的。因此，可将幂零李群表示为 $G = (\mathfrak{g}, \cdot)$，其中 $\mathfrak{g}$ 是幂零李代数（通常在 $\mathbb{R}$ 上），具有李括号 $[\cdot, \cdot]$，群乘法 $\cdot$ 由贝克 - 坎贝尔 - 豪斯多夫级数给出：
[
(\forall x, y \in \mathfrak{g}) \quad x \cdot y = x + y + \frac{1}{2}[x, y] + \frac{1}{12}([x, [x, y]] + [y, [y, x]]) + \cdots
]
若李代数 $\mathfrak{g}$ 是 $n$ 步幂零的，则群乘法 $\mathfrak{g} \tim