空间直线方程

空间直线的方向向量

直线上任意两点的坐标差就是该直线的方向向量，用二维空间很容易表示出来。
先看以下图：

图中AB是直线上任意两点，OA和OB则是这两点表示的的向量，OD是OA反方向等长的，所以AB两点的坐标差就相当于O B → + O D → \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}OB+OD，根据平行四边形法则就是O C → \overrightarrow{OC}OC.因为B C ‾ = O D ‾ = O A ‾ \overline{BC}=\overline{OD}=\overline{OA}BC=OD=OA且BC平行于AD这条直线，所以OABC是一个平行四边形。那么OC就平行与AB所在的直线，所以直线上AB两点坐标差就是直线的方向向量O C → \overrightarrow{OC}OC。
该图绘图代码为:

\documentclass{article} \usepackage{tikz} \begin{document} \begin{tikzpicture} % 定义绘图范围 \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$}; % x 轴 \draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$}; % y 轴 % 添加刻度 \foreach \x in {-2,-1,1,2} \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$}; \foreach \y in {-1,1} \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$}; \coordinate (A1) at (-2.5, -1.5); \coordinate (A) at (-1.5, -0.5); \coordinate (B) at (0.5, 1.5); \coordinate (B1) at (2.0, 3.0); \coordinate (C) at (2, 2); \coordinate (D) at (1.5, 0.5); \coordinate (O) at (0, 0); \node[yshift=-5pt] at (A) {A}; \node[yshift=5pt] at (B) {B}; \node[yshift=5pt] at (C) {C}; \node[xshift=5pt] at (D) {D}; \node[xshift=-5pt,yshift=-5pt] at (O) {O}; \draw[->] (A) -> (D); \draw (D) --(C) -- (B) ; \draw (A1) -- (B1); \draw[->] (O) -> (B); \draw[->] (O) -> (C); \end{tikzpicture} \end{document}

空间直线的对称式方程

假设空间直线经过一个点A 0 A_0A0​，坐标为( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0)(x0​,y0​,z0​)，且有一个方向向量为(m,n,p)，那么根据上述结论，直线上任意一点( x , y , z ) (x,y,z)(x,y,z)和A 0 A_0A0​的坐标差与方向向量就有坐标比例关系，那么就有：
x − x 0 = t m y − y 0 = t n z − z 0 = t p ⟹ x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p = t x-x_0=tm\\ y-y_0=tn\\ z-z_0=tp\\ \implies \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=tx−x0​=tmy−y0​=tnz−z0​=tp⟹mx−x0​​=ny−y0​​=pz−z0​​=t
这就是直线的对称式方程，也叫点向式方程。同时也容易得到参数方程：
x = t m + x 0 y = t n + y 0 z = t p + z 0 x=tm+x_0\\ y=tn+y_0\\ z=tp+z_0x=tm+x0​y=tn+y0​z=tp+z0​

直线的夹角

直线的夹角θ \thetaθ，用方向向量的2-范数很容易求出来了。假设两个方向向量是v 1 , v 2 \bm{v_1} , \bm{v_2}v1​,v2​，就可以用下面的公式了：
cos ⁡ ( θ ) = ∣ v 1 ⋅ v 2 ∣ ∥ v 1 ∥ 2 ∥ v 2 ∥ 2 \cos(\theta)=\frac{|\bm{v_1} \cdot \bm{v_2}|}{\lVert \bm{v_1} \rVert_2\lVert \bm{v_2} \rVert_2}cos(θ)=∥v1​∥2​∥v2​∥2​∣v1​⋅v2​∣​
这里加上绝对值是为了把钝角变成锐角,所以和线性代数里不加绝对值的公式不同。

直线与平面的夹角

对于一般的平面a x + b y + c z = d ax+by+cz=dax+by+cz=d，其中一个法向量就是( a , b , c ) (a,b,c)(a,b,c)。至于为什么，可以取平面上任意两点就可以了。假设有两点A 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , A 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) A_1(x_1,y_1,z_1),A_2(x_2,y_2,z_2)A1​(x1​,y1​,z1​),A2​(x2​,y2​,z2​)在该平面上，那么两点的坐标差就是这两点的方向向量( x 1 − x 2 , y 1 − y 2 , z 1 − z 2 ) (x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)(x1​−x2​,y1​−y2​,z1​−z2​)，该方向向量和( a , b , c ) (a,b,c)(a,b,c)的内积为：
a ( x 1 − x 2 ) + b ( y 1 − y 2 ) + c ( z 1 − z 2 ) = a x 1 + b y 1 + c z 1 − a x 2 − b y 2 − c z 2 = d − d = 0 a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)+c(z_1-z_2)\\ =ax_1+by_1+cz_1-ax_2-by_2-cz_2\\ =d-d=0a(x1​−x2​)+b(y1​−y2​)+c(z1​−z2​)=ax1​+by1​+cz1​−ax2​−by2​−cz2​=d−d=0
所以平面上任意两点的方向向量都垂直于( a , b , c ) (a,b,c)(a,b,c)这个向量，那毫无疑问是法向量了。
那么直线和平面的夹角θ \thetaθ,假设直线的方向向量是v 1 \bm{v_1}v1​，平面的法向量是v 2 \bm{v_2}v2​,夹角θ \thetaθ就可以按下面公式求了：
sin ⁡ ( θ ) = ∣ v 1 ⋅ v 2 ∣ ∥ v 1 ∥ 2 ∥ v 2 ∥ 2 \sin(\theta)=\frac{|\bm{v_1} \cdot \bm{v_2}|}{\lVert \bm{v_1} \rVert_2\lVert \bm{v_2} \rVert_2}sin(θ)=∥v1​∥2​∥v2​∥2​∣v1​⋅v2​∣​