61、傅里叶级数相关理论解析

傅里叶级数相关理论解析

1. 切萨罗均值与傅里叶级数

切萨罗均值序列 $\sigma_n(x)$ 在 $L^p$ 中有界，即 $|\sigma_n|p \leq |f|_p$。若序列 $\sigma_n$ 在 $L^p(T)$ 中有界，根据弱紧性，存在子序列 $\sigma{n_k}$ 和元素 $f \in L^p(T)$ 使得 $\sigma_{n_k}$ 弱收敛到 $f$。由于 $e^{-ijt} \in L^{\infty}(T)$ 也属于对偶空间 $L^q(T)$，可得 $\lim_{k \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_T \sigma_{n_k}(t)e^{-ijt} dt = \frac{1}{2\pi} \int_T f(t)e^{-ijt} dt = c_j(f)$。

通过计算积分，利用 $\sigma_{n_k}(x) = \sum_{|s| \leq n_k} (1 - \frac{|s|}{n_k + 1}) c_s e^{isx}$ 和正交关系，得到 $\lim_{k \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_T \sigma_{n_k}(t)e^{-ijt} dt = c_j$，所以 $c_j = c_j(f)$，即该级数确实是 $f$ 的傅里叶级数。又因为 $|\sigma_n - f|_p \to 0$，所以 $|\sigma_n|_p \to |f|_p$，且 $|f|_p \leq M$（因为 $|\sigma_n|_p \leq M$）。

对于 $p = 1$ 的情况，有如下定理：设 $\sum_{j} c_j e^{ijt}$ 是三角级数，它是函数 $f \in