37、量子系统中的时间相关微扰理论与状态跃迁

量子系统中的时间相关微扰理论与状态跃迁

1. 二态系统的跃迁概率

1.1 谐波微扰下的二态系统

在谐波微扰作用于二态系统时，系统在两个状态之间以拉比频率 $\omega_R$ 振荡。利用概率守恒，可得从状态 2 到状态 1 的跃迁概率：
$P_{2 \to 1} = 1 - |c_2(t)|^2 = \cos^2(\omega_Rt) + \left(\frac{\delta}{2\omega_R}\right)^2\sin^2(\omega_Rt)$

当处于共振情况，即 $\delta = 0$ 时，跃迁概率在 0 和 1 之间摆动；在非共振情况下，非零失谐会衰减 $P_{1 \to 2}$ 的振幅，使得上能级永远不会被完全占据，相应地，下能级也不会被耗尽。

1.2 恒定微扰在 $t = 0$ 时刻开启的二态系统

对于在 $t = 0$ 时刻开启的恒定微扰，可将其视为时间相关问题，因为它是一个阶跃函数。通过对谐波微扰的微分方程进行处理，令 $\omega = 0$，得到：
$i\hbar\dot{c}1(t) = \hat{W}{11}c_1(t) + \hat{W}{12}e^{-i\omega_0t}c_2(t)$
$i\hbar\dot{c}_2(t) = \hat{W}{12}^{\dagger}e^{i\omega_0t}c_1(t) + \hat{W}_{22}c_2(t)$

假设解的形式为 $c_1(t) = Ae^{-i\omega t}$ 和 $c_2(t) = Be^{-i(\omega - \omega_0)