9、一维时变状态的量子力学探索

一维时变状态的量子力学探索

1. 引言

在量子力学中，此前我们主要研究的是定态系统。然而，一般情况下，量子系统存在于态的叠加之中，在这种态下，概率密度必然是与时间相关的，这类态通常被称为“波包”。波包是不同德布罗意波长的波的叠加，它为量子粒子的“运动”提供了机制，也建立了量子粒子与经典粒子之间的联系。接下来，我们将首先探讨位置和动量的期望值与这些量的经典概念之间的联系，然后详细研究一些特定的波包。

2. 埃伦费斯特定方程

2.1 第一个埃伦费斯特定方程

1927 年，P. 埃伦费斯特证明了波包的运动与经典粒子的运动之间的关系，这是对应原理的又一体现。首先，我们来看位置的期望值：
[
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x, t) x \psi(x, t) dx
]
假设波函数是归一化的，即它们在 (x = \pm\infty) 处消失。对 (\langle x\rangle) 关于时间求导，并代入含时薛定谔方程（TDSE），经过一系列推导（包括分部积分等操作），我们得到：
[
\frac{d}{dt} \langle x\rangle = \frac{\langle p\rangle}{m}
]
这是位置和动量之间的经典关系应用于这些量的期望值，它表明这些变量的平均值对应于它们的经典对应物。这个方程通常被称为第一个埃伦费斯特定方程。

2.2 第二个埃伦费斯特定方程

对第一个埃伦费斯特定方程（以特定形式）再次求导，经过一系列操作（包括交换求导顺序、代入 TDSE、两次分