13、量子力学中的线性势与WKB近似

量子力学中的线性势与WKB近似

1. 线性势的基本概念

在量子力学中，能够精确求解定态薛定谔方程（TISE）的势能函数并不多。其中一种看似简单的势能函数是线性势，其在 $x > 0$ 时为 $U(x) = eFx$，在 $x \leq 0$ 时为无穷大，可表示为：
[
U(x) =
\begin{cases}
eFx, & x > 0 \
\infty, & x \leq 0
\end{cases}
]
这种情况可能出现在一些物理场景中，比如粒子在均匀引力场中下落并在表面弹性反射，或者带电粒子（如电子）在恒定电场 $F$ 的作用下被推向无穷大的势垒。

对于 $x > 0$ 的情况，力的表达式为 $F(x) = -eF\hat{\imath}$，这意味着电子被限制在一个势阱中，因此可以预期存在束缚态。TISE 方程为：
[
\left(-\frac{\hbar^2}{2m_e}\frac{d^2}{dx^2} + eFx\right)\psi(x) = E\psi(x)
]
边界条件为 $\psi(0) = 0$ 和 $\psi(\infty) \to 0$。我们的目标是找到能量本征值 $E_n > 0$ 以及坐标空间中的本征函数。

2. 求解线性势的步骤

求解本征函数有两种方法：一种是直接在坐标空间中求解 TISE 方程；另一种是将方程转换到动量空间进行求解，然后通过傅里叶变换得到坐标空间中的本征函数。这里我们选择先转换到动量空间。

在动量空间中，TISE 方程变为：