线性代数-3Blue1Brown《线性代数的本质》行列式（7）

传统教材对“行列式”缺乏直观解释，我们往往只是机械地计算行列式的值，对它的真实含义却一无所知。本文在理解3Blue1Brown《线性代数的本质》 行列式后，记录学习笔记，总结行列式的本质。

1、如何理解行列式

3Blue1Brown《线性代数的本质》中说：行列式本质上是线性变换空间“缩放比例”的因子。

行列式的绝对值表示一个线性变换将单位面积（或体积）放大或缩小了多少倍；符号则表示空间是否发生了“翻转”。

1.1 行列式是线性变换的“面积缩放因子”

在二维空间中， 基向量i^\hat{i}i^和j^\hat{j}j^​所张成的单位正方形。这个正方形的面积是1。

经过线性变换后， 基向量i^\hat{i}i^和j^\hat{j}j^​分别被映射到新的位置，变成了矩阵的两个列向量。它们会张成一个新的形状——一个平行四边形。这个平行四边形的面积（S1S1S1），相对于原来单位正方形的面积所变化的倍数，就是这个变换矩阵的行列式的绝对值。

• 如果S1=4S1=4S1=4，面积放大4倍
• 如果S1=0.5S1=0.5S1=0.5，面积减少一半
• 如果S1=0S1=0S1=0，空间被“压扁”到了一条线或一个点

在三维空间中类似，基向量i^\hat{i}i^、j^\hat{j}j^​、k^\hat{k}k^所张成的单位立方体，这个立方体的体积为1。一个3x3矩阵的线性变换会把这个立方体扭曲成一个平行六面体。这个平行六面体的体积，就是该矩阵的行列式的绝对值。

1.2 行列式的值-正负号的意义

行列式的正负号反映的是变换是否改变了空间的“定向”。

正行列式

这意味着变换后基向量i^\hat{i}i^和j^\hat{j}j^​的相对位置关系没有翻转。

负行列式

被反转。

零行列式

如果行列式为0，意味着缩放倍数为0。几何上，这表示该线性变换将原来的单位正方形（或立方体）压缩到了更低的维度。比如：

• 二维变换后所有点落在一条直线上，意味着整个平面被“压扁”到了一条线甚至一个点上，信息丢失。
• 三维变换后所有点落在一个平面上或一条线上。同理会信息丢失。

这也直接解释了为什么行列式为零的矩阵不可逆。

2、行列式计算

• 2×22 \times 22×2的矩阵：

A=[abcd] A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}A=[ac​bd​]

其行列式为：

det⁡(A)=ad−bc \det(A) = ad - bcdet(A)=ad−bc

• 3×33 \times 33×3的矩阵：

A=[abcdefghi] A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}A=​adg​beh​cfi​​

使用萨吕法则：

det⁡(A)=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh \det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afhdet(A)=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh