15、离散傅里叶变换（DFT）的性质、比较及快速算法详解

离散傅里叶变换（DFT）的性质、比较及快速算法详解

1. DFT的基本性质

DFT的性质在信号处理的实际技术中非常有用，可用于简化问题或带来实用的应用。数据序列$x(nT)$通常写为$x(n)$，DFT的性质如下：
1.周期性：若离散时间（DT）信号是周期性的，其DFT也将是周期性的。若信号或序列在$N$个样本后重复其波形，则称为周期性信号或序列，$N$称为信号的周期。数学表达式为：
- 对于所有的$n$，$x(n + N) = x(n)$；
- 对于所有的$k$，$x(k + N) = x(k)$。
2.线性：DFT是线性的。若$x_1(n) \leftrightarrow X_1(k)$，$x_2(n) \leftrightarrow X_2(k)$，则$ax_1(n) + bx_2(n) = aX_1(k) + bX_2(k)$。
3.时间反转：若$x(n) \leftrightarrow X(k)$，则$x[(-n), (\text{mod } N)] = x(N - n) \leftrightarrow [X(K), (\text{mod } N)] = X(N - k)$。这意味着当$N$点序列时间反转时，等同于反转DFT的值。
4.循环时间移位：若$x(n) \leftrightarrow X(k)$，则$x[(n - l), (\text{mod } N)] \leftrightarrow X(K) e^{-j2k\pi l/N}$。即序列在时域中移动$l$个单位，等同于在频域中