线性代数第六讲——二次型

二次型的定义与矩阵表示

简单来说，二次型就是由n元变量（比如x 1 , x 2 , . . . , x n x₁, x₂, ..., xₙx1​,x2​,...,xn​）构成的二次齐次多项式，称为n元二次型，简称二次型。考研只研究系数a i j ∈ R a_{ij}∈Raij​∈R的情况，故称此二次型f为实二次型。它的每一项都是二次的，例如3 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 3x₁² + 2x₁x₂ + x₂²3x12​+2x1​x2​+x22​。任何一个二次型都可以用一个实对称矩阵来唯一表示，记为矩阵形式f = x T A x ​ f = xᵀAx​f=xTAx​。
二次型的矩阵A是一个对称矩阵，满足A T = A A^T=AAT=A

化二次型为标准型与规范型

化二次型为标准形主要有配方法、合同变换法和正交变换法。

配方法

通过配方逐步消去混合项（交叉项）

1. 集中含某个变量的项；
2. 配方引入新变量；
3. 重复直至无混合项 直观，易于掌握，不依赖矩阵运算 过程可能繁琐，所得变换矩阵不一定是正交矩阵

合同变换法

对二次型矩阵及其单位矩阵做同步的初等行、列变换 1. 构造增广矩阵 [A; I]；2. 对A做初等行/列变换时，对单位矩阵只做相应的列变换 具有系统性，可以同时求出所用的可逆变换矩阵 需要记录变换过程，得到的标准形一般不唯一

正交变换法

通过正交变换（由特征向量构建）进行对角化

1. 写二次型矩阵A；
2. 求A的特征值；
3. 求特征向量并正交单位化；
4. 构造正交矩阵P 标准形系数为特征值，几何意义清晰，不改变图形形状 计算特征值和特征向量可能复杂，标准形唯一（由特征值决定）

🔄 理解标准形与规范形

• 标准形：指一个二次型通过可逆线性变换后，只包含平方项，而不包含任何混合项的形式，即f = k 1 y 1 2 + k 2 y 2 2 + ⋯ + k n y n 2 f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + \cdots + k_ny_n^2f=k1​y12​+k2​y22​+⋯+kn​yn2​

• 规范形：是标准形的一种特殊形式，其平方项的系数只能是1 、 − 1 或 0 1、-1 或 01、−1或0，即f = y 1 2 + ⋯ + y p 2 − y p + 1 2 − ⋯ − y r 2 f = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2f=y12​+⋯+yp2​−yp+12​−⋯−yr2​其中正平方项的个数p pp称为正惯性指数，负平方项的个数r − p r-pr−p称为负惯性指数，它们是由二次型本身唯一确定的（惯性定理）。

✨ 掌握正交变换的步骤

使用正交变换法化二次型为标准形，关键在于找到合适的正交矩阵。具体步骤如下：

1. 写出二次型的矩阵A：将二次型f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x T A x f(x_1, x_2, ..., x_n) = x^TAxf(x1​,x2​,...,xn​)=xTAx表示为矩阵形式，其中 A 是 n 阶实对称矩阵。

2. 求矩阵A的特征值和特征向量：解特征方程λ E − A = 0 \lambda E - A= 0λE−A=0，求出所有特征值λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_nλ1​,λ2​,...,λn​。对于每个特征值λ i \lambda_iλi​，求解齐次线性方程组( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_i E - A)x = 0(λi​E−A)x=0得到对应的特征向量。

3. 将特征向量正交化和单位化：
   ◦ 对于不同特征值对应的特征向量，它们已经是正交的。

   ◦ 对于重特征值对应的多个特征向量，可能需要使用施密特（Schmidt）正交化方法将其化为正交向量组。

   ◦ 将所有特征向量单位化。

4. 构造正交矩阵P：将经过步骤3处理后的单位正交特征向量作为列向量，构成正交矩阵 P。正交矩阵满足P − 1 = P T P^{-1} = P^TP−1=PT。

5. 进行正交变换：令x = P y x = Pyx=Py，其中 y 是新变量向量。将此变换代入二次型，得到标准形：f = x T A x = ( P y ) T A ( P y ) = y T ( P T A P ) y = y T Λ y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ n y n 2 f = x^TAx = (Py)^TA(Py) = y^T(P^TAP)y = y^T \Lambda y = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + ... + \lambda_n y_n^2f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTΛy=λ1​y12​+λ2​y22​+...+λn​yn2​。这里Λ \LambdaΛ是由 A 的特征值组成的对角矩阵。

正定二次型